Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: n-я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, – это основной тон, производимый струной длиной 1/n от длины исходной струны.
Кроме того, каждый член ряда, начиная со второго, представляет собой среднее гармоническое h двух соседних членов a и b, – отношение удвоенного произведения этих чисел к их сумме:
т. е. по сути среднее гармоническое равно отношению квадрата среднего геометрического к среднему арифметическому.
Еще Лейбниц доказал, что сумма членов гармонического ряда бесконечно возрастает, когда n неограничено растет, т.е. ряд расходится, несмотря на то, что отдельные члены гармонического ряда стремятся к нулю.
Разница между n-м гармоническим числом и натуральным логарифмом n сходится к постоянной Эйлера – Маскерони ϒ = 0, 57721…
Константа введена в 1735 году Леонардом Эйлером, он же предложил для неё обозначение C , которое до сих пор применяется.
Итальянский математик Лоренцо Маскерони в 1790 году вычислил 32 знака константы. Немецкий математик Карл Бретшнайдер предложил современное обозначение ϒ (греческая буква «гамма») в 1837 году.
Законы обратных квадратов (s = 2) и кубов (s = 3) членов гармонического ряда тесно связаны с физическими [2] и другими науками.
Так, например, значения некоторой физической величины в точках пространства, распределяются обратно пропорционально квадратам расстояний от источника поля (света), которое характеризует эта физическая величина, т. е. подчиняются закону обратных квадратов.
Многих интересовал вопрос, почему существует пространство лишь трех измерений. П. Эренфест в 1917 году специально исследовал этот вопрос и указал, что "закон обратных квадратов", по которому действуют друг на друга точечные гравитационные массы или электрические заряды, обусловлен трехмерностью пространства. Он установил, что в пространстве n измерений точечные частицы взаимодействовали бы по закону обратной степени n - 1 . Поэтому для n = 3 справедлив закон обратных квадратов, т. к. 3 - 1 = 2 . А в случае n = 4, что соответствует закону обратных кубов, т. к. 4 - 1 = 3, планеты двигались бы по спиралям и быстро упали бы на Солнце. В атомах, при числе измерений больше трех, также не существовало бы устойчивых орбит и не было бы химических процессов и жизни. На связь трехмерности пространства с законом тяготения указывал еще и Кант.
Кольца Сатурна состоят из огромного количества частиц самых разных размеров: от долей миллиметра до нескольких метров. Но, несмотря на та-кое разнообразие, число частиц каждого размера подчиняется строгому математическому соотношению – закону обратных кубов, т. е. концентрация частиц зависит от их размера в минус 3 степени. Это значит, что частиц с диаметром, к примеру, 2 метра в 8 раз меньше, чем частиц с диаметром 1 метр.
Расчет показывает, что отношение бесконечной суммы обратных кубов к – бесконечной сумме обратных квадратов стремится к устойчивому пределу, некоторой константе:
