Однако автор счел, что для установления закономерностей между числом поверхностей у базовых лент, углами их закручивания вокруг оси ω---ω и количеством сторон у получаемых исходных фигур приведенного выше материала недостаточно. Поэтому круг объектов изучения был расширен и проведены исследования, по результатам которых построены графики, аналогичные приведенным на рис. 12, для исходных фигур из базовых лент, имеющих до 15 поверхностей (рис. 13–15).

 

На этих рисунках зависимости показателей исходных фигур не скомпонованы по принципу возрастания количества поверхностей у их базовых лент, а разделены на три группы, в зависимости от того, какими числами выражается количество поверхностей у их базовых лент:

  1. простыми (рис. 13);
  2. составными четными (рис. 14);
  3. составными нечетными (рис. 15).

Напоминаем, что «простые числа» — это натуральные числа, которые имеют только два делителя: единицу и самое себя. Все остальные числа, кроме единицы, называются составными.

исходные фигуры, поверхности, простые числа
Рис. 13. Зависимость количества сторон у исходных фигур от углов закручивания их базовых лент для фигур с количеством поверхностей, выражаемым простыми числами

На рис. 13–15 видны характерные особенности каждой из трех групп исходных фигур. В группе исходных фигур, которые имеют количество поверхностей, выражаемое простыми числами — 2, 3, 5 и 7 (рис.13), — фигуры, получаемые при всех углах закручивания базовых лент, кроме первой (0°) и последней (360°) точек первого полного оборота, получаются односторонними.

 

В группе исходных фигур, получаемых из базовых лент с количеством поверхностей, выражаемым составными четными числами — 4, 6, 8 и 10 (рис.14), — число сторон, в пределах одного полного оборота закручивания спиралью базовой ленты, проходит через один или несколько экстремумов. При этом один из экстремумов всегда приходится на середину оборота, т. е. на 180º, и при этом угле закручивания у всех исходных фигур количество сторон равно половине количества их поверхностей.

колличество стоон, исходные фигуры, базовые ленты
Рис. 14. Зависимость количества сторон у исходных фигур от углов закручивания их базовых лент для фигур с количеством поверхностей, выражаемым составными четными числами

В группе исходных фигур, получаемых из базовых лент с количеством поверхностей, выражаемым составными нечетными числами — 9 и 15 (рис.15), — число сторон, в пределах одного оборота закручивания базовой ленты, имеет несколько экстремумов. При этом количество экстремумов всегда четное и ни один из них не приходится на середину оборота (цикла).

 

На основе обобщенных экспериментальных данных, приведенных на рис. 13–15, построена табл. 5. В этой таблице сведены вместе число сторон у исходных фигур и количество Δ переходов, на которое были закручены их базовые ленты перед склеиванием концов. В табл. 5 видно, что при Δ = 1 и при Δ = Ns ± 1 все исходные фигуры, независимо от того, сколько поверхностей было у их базовых лент, являются односторонними. При Δ = 0 и при Δ = Ns у всех исходных фигур число сторон (Ns) равно числу поверхностей у их базовых лент (Npb).

колличество стоон, исходные фигуры, нечетные числа
Рис. 15. Зависимость количества сторон у исходных фигур от углов закручивания их базовых лент и количества Δ переходов для фигур с количеством поверхностей, выражаемым составными нечетными числами

Данные, приведенные в табл. 5, представлены в виде графика на рис. 16. Для построения этого графика использовали показатели всех изученных исходных фигур независимо от того, простым или составным числам соответствует количество поверхностей у их базовых лент.

число сторон, колличество переходов, базовые ленты
Таблица - Зависимость числа сторон у исходных фигур от количества Δ переходов при закручивании их базовых лент вокруг оси ω---ω

На рис. 16 видно, что точки графиков всех исходных фигур, соответствующие завершению одного полного оборота базовой ленты, т. е. на 360°, построенные в координатах Ns = f (Δ), ложатся на одну прямую. Эта прямая выходит из начала координат и проходит через точку с координатами Ns = 1 и Δ = 1.

 

На рис. 16 вокруг каждой из точек, соответствующих исходным фигурам, нарисован круг. Условный диаметр каждого из кругов соответствует (в масштабе) диаметру кольца, получаемого при разрезании по серединной линии ω --- ω, соответствующей односторонней исходной фигуре, т. е. разрезанию такой фигуры, которая получается при закручивании базовой ленты на один Δ переход.

 

На рис. 16 эти круги изображены видимыми с боку, под углом, поэтому они выглядят, как эллипсы. Рис. 16 наглядно показывает, что односторонние исходные фигуры в форме колец составляют единую систему независимо от того, какими числами (простыми, составными четными или составными нечетными) выражается число поверхностей у их базовых лент. Кольцо Мебиуса входит в эту систему в качестве первой фигуры.

 

Поскольку на рис. 16 точка с координатами Ns = 1 и Δ = 1 соответствует получению односторонней исходной фигуры с двумя поверхностями, известной как «кольцо Мебиуса», автор назвал эту точку «точкой Мебиуса». Эта точка одинакова для всех исходных фигур. То есть при Δ = 1 всегда получаются односторонние исходные фигуры (Ns = 1) независимо от того, сколько поверхностей было у базовых лент.

размер колец, разрезание фигур, серединная линия
Рис. 16. Относительный размер колец, образующихся при разрезании односторонних исходных фигур по серединной линии ω---ω, при Δ = 1

Все вышеприведенные результаты получены при изучении параметров исходных фигур и колец, которые получаются при их разрезании, в пределах одного оборота базовых лент, т. е. при их закручивании от 0° до 360°. Поэтому было необходимо проверить, сохранится ли порядок изменения (цикличность) показателей исходных фигур при закручивании базовой ленты на несколько оборотов. Результаты приведены на рис. 17, на котором видно, что цикличность сохраняется. Следовательно, закономерности, полученные при первом полном обороте базовой ленты (от 0° до 360°), можно экстраполировать и на следующие обороты.

 

Поскольку изученные односторонние фигуры составляют единую СИСТЕМУ, это позволило автору разработать алгоритмы для «предсказания» основных показателей исходных фигур с любым количеством поверхностей, без изготовления их моделей в материале.

 

Разработаны три алгоритма для исходных фигур, полученных из базовых лент, количество поверхностей у которых выражается:

  1. простыми,
  2. составными четными и
  3. составными нечетными числами. 

Алгоритмы приведены на рис. 18–20, а примеры их использования — в табл. 6–8. Условные обозначения и сокращения, использованные в алгоритмах, приведены в начале статьи.

 

Если «исходная» фигура имеет число поверхностей (Npb), выражаемое четным составным числом, то количество колец из нее будет равно целому числу, на которое без остатка делится Npb. При этом частное от деления тоже должно быть целым числом.

колличество сторон, кольцо мебиуса, углы поворота
Рис. 17. Зависимость количества сторон у исходных фигур серий М, Y и Х от углов поворотов их базовых лент

Если исходная фигура имеет число поверхностей (Npb), выражаемое нечетным составным числом, то количество колец из нее будет равно целому числу, на которое без остатка делится Npb. При этом частное от деления тоже должно быть целым числом.

 

Вполне вероятно, что найденные в данной работе закономерности, связывающие то, какими числами — простыми или составными — количественно выражены показатели однотипных исходных элементов системы со свойствами формируемых из них более сложных структур, относятся не только к односторонним кольцам, но могут распространяться и на некоторые другие объекты.

 

Это предположение относится к объектам, состоящим из большого количества однотипных элементов, образующих в совокупности логические системы и имеющие алгоритм периодической повторяемости.

 

Например, есть гипотеза, что молекулы дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК), имеют форму спиралей, являющихся фрагментами ленты Мебиуса [3]. Поэтому не исключено, что молекулы ДНК, которые считаются носителями генетической информации, образуют логические системы, подобные описанным в статье.

основные показатели, колличество поверхностей, простые числа
Рис. 18. Алгоритм предсказания основных показателей исходных фигур, получаемых из базовых лент с количеством поверхностей, выражаемым простыми числами

Во всяком случае модель мозга, в которой молекулы ДНК соединены друг с другом в длинные замкнутые цепочки, похожие по строению на односторонние кольца (ленты), могла бы объяснить некоторые его свойства. Например, мгновенную частичную потерю памяти и ее восстановление, «воспоминания» человека о том, чего с ним даже и не происходило, или неожиданное «приобретение» человеком необычных способностей. Для этого достаточно микросдвига внутри спиралевидных структур молекул ДНК (подобно повороту концов «базовой ленты» у односторонних колец, рассмотренных в данной статье), чтобы их свойства коренным образом изменились. Макромолекулы ДНК при этом не разрушаются, а происходит смещение «мостиков» связывающих ее части. В результате «односторонние» спиралевидные макромолекулы ДНК могут превращаться в многосторонние или наоборот.

 

При этом какая-то информация, хранящаяся в них, может «потеряться», а какая-то активироваться. В том числе и информация, оставшаяся в структурах ДНК от предыдущих поколений.

 

Это, конечно, всего лишь гипотеза, но она, не претендуя на истину, возможно, имеет, право на существование. Во всяком случае она не противоречит принятому в настоящее время представлению о структуре ДНК в виде двойной спирали как носителе генетической информации.

 

Возможно также, что имеется связь между тем, какими числами — простыми или составными — выражаются показатели химических элементов, и строением получаемых из веществ, в состав которых входят эти элементы, комплексных химических соединений. Это предположение относится также к веществам и соединениям, способным образовывать надмолекулярные кристаллические структуры путем физического взаимодействия составляющих их атомов, молекул или макромолекул.

 

Выводы

 

  1. Впервые установлено, что кольцо (лента) Мебиуса не является уникальной фигурой, у которой количество сторон не совпадает с числом поверхностей, а существует СИСТЕМА материальных фигур в форме односторонних колец. Односторонние фигуры в форме колец могут быть получены из базовых лент с любым количеством поверхностей. Изучены основные закономерности этой СИСТЕМЫ и показано, что кольцо Мебиуса является ее составной частью.
    числа сторон, исходные фигуры, базовые ленты
    Таблица - Число сторон (Ns) у исходных фигур, с количеством поверхностей (Np), выражаемым простыми числами, в зависимости от количества Δ переходов, на которое были закручены их базовые ленты

    Np — число поверхностей у исходных фигур.

    Ns — число сторон у исходных фигур.

    Выше красной черты — экспериментальные данные.

    Ниже красной черты — данные, предсказываемые с помощью алгоритмов.

    При Δ = 0 и при Δ = Np число сторон (Ns) у всех исходных фигур равно количеству их поверхностей (Npb).

    числа сторон, колличество переходов, базовые ленты
    Таблица - Число сторон (Ns) у исходных фигур, с количеством поверхностей (Np), выражаемым составными четными числами, в зависимости от количества Δ переходов, на которое были закручены их базовые ленты

    Np — число поверхностей у исходных фигур.

    Ns — число сторон у исходных фигур.

    Выше красной черты — экспериментальные данные.

    Ниже красной черты — данные, предсказываемые с помощью алгоритмов.

    Если количество Δ переходов равно четному числу, то число сторон (Ns) у исходных фигур тоже будет четным.

    Если количество Δ переходов равно нечетному числу, то число сторон (Ns) у исходных фигур будет нечетным.

    При Δ = 1 и при Δ = Np-1, число сторон (Ns) у всех исходных фигур будет равно единице.

    При Δ = 2 и при Δ = Np-2 число сторон (Ns) у всех исходных фигур будет равно двум.

    При Δ = Np : 2 число сторон (Ns) у всех исходных фигур будет равно Np : 2.

     

  2. Выявлено, что показатели исходных фигур, изготовленных путем соединения концов, свернутых кольцом базовых лент, зависят от того, на сколько угловых секторов были повернуты концы закрученной спиралью ленты относительно друг друга перед их соединением.
  3. Установлено, что количество сторон и краев у исходных фигур с изменением угла поворота концов базовой ленты вокруг оси ω---ω изменяются циклически. Каждый цикл составляет один полный оборот ленты (360°), после чего повторяется.
  4. Выявлено, что если базовая лента имеет количество поверхностей, выражаемое простым числом, то все получаемые из нее исходные фигуры в форме колец при любых углах поворотов базовой ленты, кроме 0°, 360° и кратных 360°, будут односторонними.
  5. Установлено, что внутри каждого цикла (одного оборота базовой ленты) число сторон у исходных фигур, получаемых из лент с количеством поверхностей, выражаемым четными составными числами, имеет один или несколько экстремумов. При этом один из экстремумов всегда приходится на середину цикла. В этой точке экстремума количество сторон у исходных фигур равно половине количества их поверхностей.
  6. Выявлено, что внутри каждого цикла число сторон у исходных фигур, получаемых из базовых лент с количеством поверхностей, выражаемым нечетными составными числами, имеет несколько экстремумов. При этом количество экстремумов всегда четное, и ни один из них не приходится на середину цикла.
    основные показатели, колличество переходов, четные числа
    Рис. 19. Алгоритм предсказания основных показателей исходных фигур, получаемых из базовых лент с количеством поверхностей, выражаемым составными четными числами
  7. Установлено, что если непрерывная черта, проведенная по линии ω---ω, проходит только через часть поверхностей исходной фигуры, и таких черт можно провести несколько, то после разрезания исходной фигуры по серединной линии ω----ω получается несколько колец:

    Nkol ω = Npb : Npω,

    где Nkol ω — количество колец, образующихся при разрезании исходной фигуры по линии ω---ω ;

    Npb — количество поверхностей у базовой ленты;

    Npω — количество поверх-ностей, через которые проходит непрерывная черта по линии ω---ω.

    число сторон, колличество поверхностей, базовые ленты
    Таблица - Число сторон (Ns) у исходных фигур, с количеством поверхностей (Np), выражаемым составными нечетными числами, в зависимости от количества Δ переходов, на которое были закручены их базовые ленты

    Np — число поверхностей у исходных фигур.

    Ns — число сторон у исходных фигур.

    Выше красной черты — экспериментальные данные.

    Ниже красной черты — данные, предсказываемые с помощью алгоритмов

  8. На основании установленных при изучении системы колец закономерностей разработаны алгоритмы, используя которые можно «предвидеть» основные показатели исходных фигур, получаемых из базовых лент с любым количеством поверхностей, не изготавливая их материальных моделей. Например, предвидеть количество сторон исходных фигур, а также то, на сколько колец исходная фигура распадется после ее разрезания по линиям ω----ω, τ---τ и σ---σ.

 

Часть этих закономерностей перечислена в выводах 4, 5, 6 и 7, а остальные приведены ниже:

 

если исходная фигура имеет число поверхностей (Npb), выражаемое простым числом, то количество колец, образующихся при ее разрезании по серединной линии ω----ω, будет равно либо количеству поверхностей исходной фигуры, либо единице. Например:

фигура М ……………………… 2 и 1,

фигура Y ………………….…… 3 и 1,

фигура Р ……………….……… 5 и 1,

фигура Gep …………….……... 7 и 1;

 

если исходная фигура имеет число поверхностей (Npb), выражаемое любым составным числом, то количество колец, образующихся при ее разрезании по серединной линии ω---ω, будет равно целому числу, на которое без остатка делится Npb. При этом частное от деления тоже должно быть целым числом. Например:

фигура X ……………….……. 1, 2, 4,

фигура G …………………….. 1, 2, 3, 6,

фигура Okt ………………….. 1, 2, 4, 8,

фигура Non …………………. 1, 3, 9,

фигура Dek ………………….. 1, 2, 5, 10,

фигура Pen ………….………. 1, 3, 5, 15.

исходные фигуры, нечетные числа, кольцо мебиуса
Рис. 20. Алгоритм предсказания основных показателей исходных фигур, получаемых из базовых лент с количеством поверхностей, выражаемым составными нечетными числами

Список использованных источников

 

  1. Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. Математические образы в реальном мире / А. Т. Фоменко. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1992. — 492 с.
  2. Курант Р. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов : [пер. с англ.] / Р. Курант, Г. Роббинс. — М. : Просвещение, 1967. — 558 с.
  3. Молекулярная биология клетки : в 3 т. / Альбертс Б., Брей Д., Льюис Дж. и др. — М. : Мир, 1994. — 1558 с.

 

Автор благодарит за помощь господина Бабия Артема Петровича, выполнившего рис. 8 и 9 «Односторонняя исходная фигура с четырьмя поверхностями (Х-270) и его поперечный разрез»

 

Напоминаем Вам, что в нашем журнале "Наука и техника" Вы найдете много интересных оригинальных статей о развитии авиации, кораблестроения, бронетехники, средств связи, космонавтики, точных, естественных и социальных наук. На сайте Вы можете приобрести электронную версию журнала за символические 60 р/15 грн.

 

В нашем интернет-магазине Вы найдете также книгипостерымагнитыкалендари с авиацией, кораблями, танками.