Мозг человека в принципе не может представить и осознать многомерные объекты в полном объеме: мы можем работать с пространствами размерности выше четвертой, только используя интуицию из работы с двумерным и трехмерным пространствами. Из-за ограничения нашего восприятия многомерных объектов мы не можем эффективно их анализировать и видеть все взаимосвязи. Вот тут-то как раз и помогает машинное обучение: в поиске паттернов в огромных массивах данных , размерность для него — не предел. По сути, использование искуственного интеллекта в математике на данном этапе — это такое дополнение к ученому, которое позволяет чуть нивелировать недостатки восприятия человека. Интересно, какие еще нерешенные задачи поможет побороть ИИ?)

 

DeepMind совместно с ведущими математиками мира применили ИИ к двум областям математики: теории представлений и топологии. В области теории представлений ИИ позволил сильно приблизиться к доказательству гипотезы, касающейся полиномов Каждана-Люстига. Эта гипотеза была видвинута 40 лет назад, и до сих пор никто не мог к ней подступиться. В области топологии ИИ помог найти неочевидные связи между различными представлениями гиперболических узлов.

 

 

 

Математический узел — это замкнутая гладкая кривая, правильным образом вложенная в трехмерное пространство и не имеющая самопересечений.

 

В теории узлов есть одна главная нерешенная задача –  до сих пор, не удалось понять, когда два, на первый взгляд, совершенно разных узла топологически представляют собой одно и то же.

математика, узлы, графы, теория графов, Big Data

Визуализация узлов

Самая простая идея, которая лежит в основе всей теории узлов - это то, что узел можно представить диаграммой, проекцией на какую-нибудь плоскость. При этом в самой теории узлов есть две связанные задачи: распознать сам узел и понять, представляют ли две крайние запутанные диаграммы одно и то же или нет.

 

Компьютерное моделирование и визуализация узлов и других объектов уже давно помогают математикам, а подход, описанный в Nature,  может принести пользу другим областям математики, которые связаны с Big Data.

математика, узлы, графы, теория графов, Big Data
 

Big Data и карты значимости

DeepMind, дочерняя компания Google. Идея математического сотрудничества возникла в результате случайного разговора в 2019 году между математиком Джорди Уильямсоном из Сиднейского университета в Австралии и исполнительным директором DeepMind, нейробиологом Демисом Хассабисом. Лакенби и его коллега из Оксфорда Андраш Юхас, теоретики узлов, вскоре присоединились к проекту.

Первоначально работа была сосредоточена на выявлении математических задач, которые можно было бы решить с помощью технологии DeepMind. 

математика, узлы, графы, теория графов, Big Data
 

Поскольку машинное обучение требует большого количества данных, одним из требований была возможность вычислять свойства огромного числа объектов: в случае узлов рассчитывали несколько свойств, называемых инвариантами, для миллионов различных узлов.

Затем исследователи перешли к выяснению того, какой метод ИИ будет наиболее полезен для поиска паттерна, связывающего два свойства. В частности, один метод, называемый картами значимости, оказался особенно полезным. Он часто используется в компьютерном зрении, чтобы определить, какие части изображения несут наиболее важную информацию. Карты значимости указывали на свойства узлов, которые, были связаны друг с другом, и генерировали формулу этой связи.

«Тот факт, что авторы доказали, что эти инварианты связаны между собой, еще и прямолинейной зависимостью, показывает нам, что есть кое-что очень фундаментальное, что мы, работающие в этой области, упустили», - говорит Марк Бриттенхэм, теоретик узлов из Университет Небраски – Линкольн, который часто использует вычислительные методы. 

математика, узлы, графы, теория графов, Big Data
 

Решение симметрии

В широком смысле понятие симметрии можно описать, как неизменность при преобразованиях. Математика описывает свойства симметрии с помощью теории групп.

 

 

Джорди Уильямсон сосредоточился на отдельной проблеме, касающейся симметрии. 

 

Для их изучения симметрии используют различные инструменты, включая графы, соединяющие тысячи узлов в алгебраические выражения, называемые полиномами. ИИ смог разбить граф на мелкие, более управляемые части. Как только алгоритм сконцентрировался на шаблоне, он смог очень точно угадать, какие графы и многочлены произошли от одних и тех же симметрий. 

 

«Любая область математики, в которой могут быть созданы достаточно большие наборы данных, может использовать этот подход», - говорит Юхас, добавляя, что продемонстрированные методы уже сейчас можно внедрять в биологии и экономике.

 

Как тут не вспомнить Григория Перельмана, которому не понадобился искусственный интеллект для доказательства теоремы Пуанкаре. Почему, гениальный затворник и великий математик отказался от миллиона долларов? Ведь он решил одну из семи задач тысячелетия (важные математические проблемы, решение которых не найдено в течение десятков лет) — и показал, что исходная трехмерная поверхность (если в ней нет разрывов) обязательно будет эволюционировать в трехмерную сферу.

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.

Новости о науке, технике, вооружении и технологиях.

Подпишитесь и будете получать свежий дайджест лучших статей за неделю!