Большинство читателей знают, что такое «кольцо Мебиуса», или хотя бы слышали о нем. Это кольцо интересно тем, что при разрезании вдоль распадается на более узкие кольца с совершенно неожиданными свойствами: либо с длиной окружности вдвое большей, чем у исходного, либо в виде двух продетых друг в друга колец. Придумали эту парадоксальную фигуру полтора века назад немецкие математики Август Фердинанд Мебиус (Möbius, 1790–1868) и Иоганн Бенедикт Листинг (Listing, 1808–1882).

 

 

 

Предложенная ими фигура, получившая впоследствии название «лист Мебиуса» (его называют также «лента» и «кольцо» Мебиуса), до сих пор остается одним из объектов изучения в области математики, называющейся «топология».

математик Август Фердинанд Мебиус, ученый
Август Фердинанд Мебиус (1790–1868)

Чтобы изготовить такую фигуру, достаточно взять длинный узкий лист бумаги, так называемую «базовую ленту», закрутить спиралью на половину оборота, свернуть кольцом и склеить концы. Получится фигура в форме кольца, которую и называют «кольцом Мебиуса».

немецкий математик Листинг, ученый
Иоганн Бенедикт Листинг (1808–1882)

Если закрашивать обычный лист бумаги, то его можно окрасить в два цвета — каждую из поверхностей в свой цвет. Границей окрашивания будут края листа. С кольцом Мебиуса, склеенным из такого же листа, это не получится. При попытке окрасить одну его поверхность, он оказывается закрашенным полностью.

 

Прежде чем продолжить рассказ о кольце Мебиуса, определимся с терминами, используемыми в предлагаемой статье.

 

«Поверхность» — это часть обычного листа, или «базовой ленты», или кольца, отделенная от других ее частей краями. То есть у обычного листа всегда имеются две поверхности, разграниченные краями. Нельзя перейти с одной поверхности на другую, не пересекая при этом край.

 

«Сторона» — это часть поверхности листа, ленты или кольца, из одной точки которой можно перейти в любую другую ее точку, не пересекая край. Проще говоря, можно провести непрерывную черту от любой одной точки стороны до любой другой точки стороны и не пересечь при этом край.

 

Таким образом, у обычного листа или у плоской ленты количество поверхностей равно количеству их сторон, т. е. двум.

 

А вот у кольца Мебиуса (КМ) это не так. Ведь количество поверхностей у «базовой ленты», из которой изготовили кольцо, равнялось двум, и при изготовлении из нее КМ они никуда не делись. То есть у КМ две поверхности. Но при попытке окрасить одну из поверхностей КМ, оно оказывается закрашенным полностью. То есть у него есть только одна сторона. Это один из парадоксов КМ, плохо укладывающийся в обычную человеческую логику.

 

Если разрезать КМ на две равные по ширине части, то получается одно кольцо с длиной окружности, которая в два раза больше, чем у КМ. Оно имеет две стороны.

 

Если же КМ разрезать по линии, отступающей на одну треть от края, то оно распадается на два продетых друг в друга кольца разного размера. Одно — одностороннее, такого же размера, как КМ. Второе — двустороннее и в два раза длиннее, чем КМ.

 

До последнего времени считалось, что КМ уникально по своим свойствам, а односторонних фигур в форме колец, имеющих более двух поверхностей, не существует. Но оказалось, что это не так.

 

Чтобы убедиться в этом, нужно просто выйти за пределы привычного для нас стереотипного представления об односторонних фигурах. В данном случае было нужно придумать, изготовить и изучить свойства материальных моделей односторонних фигур с количеством поверхностей более двух. Такая работа была выполнена, и ее результаты представлены ниже.

 

Автор обращает ваше внимание на то, что речь, в данной статье, идет именно о материальных моделях фигур, а не об абстрактных математических фигурах. Хотя естественно, что показатели и свойства этих материальных фигур не противоречат законам математики. Материальные модели, в отличие от математических, понятны и доступны любому человеку. Их может легко изготовить неспециалист в математике и убедиться в правильности и воспроизводимости алгоритмов, приведенных в конце статьи.

 

Первый вопрос, который возникает при изготовлении односторонних материальных моделей, имеющих более двух поверхностей: каким образом у базовой ленты может быть больше двух поверхностей? Действительно, если взять обычный лист бумаги, то он имеет две поверхности, разделенные границей — краями листа. Мы можем окрасить каждую из поверхностей в свой цвет. Поперечное сечение плоского листа выглядит как линия, рис. 1.

поперечное сечение, плоский лист, поверхности
Рис. 1. Поперечное сечение обычного, плоского листа. Он имеет две поверхности. На рисунке одна поверхность листа окрашена в красный, а вторая в зеленый цвет

Теперь представим себе, что базовая лента не плоская, а имеет в сечении вид буквы Y. В этом случае, как видно на рис. 2, у ленты будет три поверхности, разграниченные краями. Каждая из поверхностей представляет собой ленту, согнутую вдоль под углом 120°.

сечение базовой ленты, сектора, цвета
Рис. 2. Поперечное сечение базовой ленты Y с тремя поверхностями. Выглядит, как «звезда» с тремя лучами, которые делят сечение ленты на три угловых сектора по 120° каждый. Поверхности окрашены на рисунке в красный, зеленый и синий цвета. Каждая из поверхностей условно разделена по линии сгиба на две равные по ширине части «А» и «В»

А чтобы базовая лента имела четыре поверхности, она должна иметь в сечении форму буквы Х, рис. 3.

базовая лента, поверхности, линия сгиба
Рис. 3. Поперечное сечение базовой ленты X с четырьмя поверхностями. Выглядит, как «звезда» с четырьмя лучами, которые делят сечение ленты на четыре угловых сектора по 90° каждый. Поверхности окрашены на рисунке в красный, зеленый, синий и малиновый цвета. Каждая из поверхностей условно разделена по линии сгиба на две равные по ширине части «А» и «В»

Посмотрев на рис. 2 и 3, легко представить себе, как будут выглядеть сечения базовых лент с пятью, шестью и более поверхностями.

 

В качестве примера приводим описание процесса изготовления в материале базовой ленты с четырьмя поверхностями. Для этого понадобятся: лист бумаги длиной 70–80 см, ножницы, фломастер или шариковая ручка и клей для бумаги. Еще удобнее работать, если вместо клея использовать бумажную, так называемую малярную, ленту шириной около 5 см. Такую ленту с уже нанесенным на одну ее сторону липким слоем продают в виде рулонов в магазинах хозтоваров, в отделе лакокрасочных материалов.

 

Бумагу нарезаем лентами шириной по 6 см. Затем берем две ленты и складываем каждую из них вдвое по линии сгиба (рис. 4).

лента, сгиб, линия сгиба
Рис. 4. Лента складывается вдвое по линии сгиба

Две сложенные вдоль ленты шириной по 3 см каждая прикладываем друг к другу линиями сгиба и склеиваем между собой по всей длине липкой малярной лентой (рис. 5).

 

Затем переворачиваем полученную «конструкцию» и укрепляем ее, наклеив малярную ленту на место соединения сложенных лент с другой стороны. Получается базовая лента с четырьмя поверхностями. Остается расправить ленту и убедиться, что в поперечном сечении она имеет вид креста, или «звезды» с четырьмя лучами (см. рис. 3).

склеивание, малярная лента, линия сгиба
Рис. 5. Склеивание при помощи малярной ленты

Для наглядности фрагмент базовой ленты Х с четырьмя поверхностями приведен на рис. 6 в аксонометрии. На рисунке видно, что каждая из поверхностей базовых лент представляет собой длинную узкую полосу, согнутую вдоль по серединой линии ω---ω.

 

Для проведения исследований были изготовлены и изучены кольца из базовых лент, имеющих от двух до 15 поверхностей (табл. 1).

таблица, базовая лента, колличество поверхностей

При проведении экспериментов и обсуждении их результатов в качестве эталона сравнения использовали, естественно, кольцо Мебиуса. Поэтому и на базовой ленте с двумя поверхностями (для изготовления кольца Мебиуса), и на базовых лентах с тремя, четырьмя и более поверхностями делали одинаковую разметку, схема которой приведена на рис. 7.

базовая лента, серединная лета, ось
Рис. 6. Фрагмент базовой ленты Х с четырьмя поверхностями. Линия ω---ω, по которой сходятся линии сгиба поверхностей, — «серединная линия». Одновременно она является и осью, вокруг которой при изготовлении колец ленту закручивают спиралью на заданный угол или на соответствующее ему количество угловых секторов
схема разметки, фигуры, ленты
Рис. 7. Схема разметки поверхностей базовых лент, используемых для изготовления исходных фигур. Линия ω---ω – серединная линия. Она делит ленту на две равные по ширине части. Линии τ---τ и σ---σ делят ленту на три равные по ширине части. В последующих исследованиях ленты будем разрезать по этим линиям

В статье использованы следующие условные термины, обозначения и сокращения:

 

Исходная фигура — фигура в форме кольца, полученного соединением концов базовой ленты.

 

Автор считает целесообразным кольца, получаемые непосредственно из базовых лент путем соединения их концов, называть исходными фигурами. Это позволяет при обсуждении результатов экспериментов не путать их с теми кольцами, на которые разделяются исходные фигуры после их разрезания по линиям ω---ω, τ---τ и σ---σ.

 

Угловой сектор — средняя величина угла между лучами на поперечном сечении базовой ленты. Например, у ленты с тремя поверхностями угловой сектор равен 360° : 3 = 120°, а у ленты с пятью поверхностями 360° : 5 = 72°.

 

Δ переход — количество угловых секторов, на которое сдвигаются концы базовых лент относительно друг друга при закручивании базовой ленты спиралью вокруг оси ω---ω перед склеиванием ее концов.

 

Npb — количество поверхностей у базовой ленты.

 

Np — количество поверхностей у исходных фигур и у колец. У исходных фигур Np = Npb; У колец, образующихся после разрезания исходной фигуры, количество поверхностей (Np) может быть самым разным, поэтому при изучении параметров колец их нужно каждый раз считать.

 

Ns — количество сторон у исходных фигур и у колец.

 

Nk — количество краев у исходных фигур и у колец.

 

Lo — длина окружности исходной фигуры. Она используется в качестве эталона сравнения и поэтому всегда условно принимается равной единице.

 

Lω — длина непрерывной черты, проведенной по линии ω---ω.

 

Lτ — длина непрерывной черты, проведенной по линии τ---τ.

 

Lσ — длина непрерывной черты, проведенной по линии σ---σ.

 

Nkol ω — количество колец, образующихся при разрезании исходной фигуры по линии ω---ω.

 

Nkol τσ — количество колец, образующихся при разрезании исходной фигуры по линии τ---τ или по линии σ---σ.

 

NL ω — количество непрерывных, не пересекающихся между собой черт, которые можно провести по линии ω---ω.

 

Np ω — количество поверхностей, через которые можно провести непрерывную черту по линии ω---ω.

 

NL τσ — количество непрерывных, не пересекающихся между собой черт, которые можно провести по поверхности исходной фигуры, по линии τ---τ или по линии σ---σ.

 

 

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

 

Концы базовых лент закручивали спиралью вокруг оси ω---ω на заданный угол (т. е. на заданное число градусов или на соответствующее им количество Δ переходов) относительно друг друга (табл. 2). Затем закрученные спиралью базовые ленты сворачивали кольцом и склеивали их концы. Получали трехмерные фигуры в форме колец, называемые в статье исходными фигурами.

таблица, углы закручивания, колличество переходов

Условные обозначения исходных фигур при их обсуждении составлены из наименования их базовой ленты ( Y, X, P, Okt, Dek и др., см. табл. 1) и угла закручивания базовых лент. Например, название исходной фигуры Dek-252 означает, что она получена из базовой ленты с 10 поверхностями, закрученной на 252° (т. е. на семь Δ переходов).

 

Внешний вид одной из изученных в работе исходных фигур (фигура Х-270) и ее поперечный разрез приведены в качестве примера на рис. 8 и 9.

исходная фигура, четыре поверхности, склеены концы
Рис. 8. Односторонняя исходная фигура с четырьмя поверхностями (Х-270). Базовая лента этой фигуры закручена спиралью на 270°. На левой части рисунка видно линии, по которым склеены между собой концы базовой ленты
поперечный разрез, исходная фигура, фигура Х-270
Рис. 9. Поперечный разрез односторонней исходной фигуры Х-270

Полученные исходные фигуры изучали. Сначала по их поверхностям проводили непрерывные черты по линиям ω---ω, τ---τ и σ---σ (см. рис. 7) и подсчитывали, сколько таких непрерывных и не пересекающихся между собой черт можно провести по поверхности каждой из исходных фигур. Затем исходные фигуры разрезали по этим же линиям и считали, на сколько колец они разделялись. Сравнивали длины окружностей полученных колец с длиной окружности их исходных фигур (Lo). 

диаграмма результатов, исходная фигура, фигура Х-270
Рис. 10. Диаграмма результатов экспериментов с исходной фигурой Х-270 (Δ = 3)

Подсчитывали число сторон (Ns) и краев (Nk) у каждого из полученных колец.

 

Полученные результаты оформляли в виде диаграмм. В качестве примеров такого оформления результатов, приведены диаграммы для колец из базовой ленты X с четырьмя поверхностями при угле закручивания ленты 270 °(исходная фигура Х-270, рис. 10) и из базовой ленты G с шестью поверхностями при угле закручивания ленты 120°(исходная фигура G-120, рис. 11).

диаграмма результатов, эксперимент, фигура Х-270
Рис. 11. Диаграмма результатов экспериментов с исходной фигурой G-120 (Δ = 2)

На рис. 10 видно, что при угле закручивания базовой ленты Х на 270° получаемая из нее исходная фигура (на диаграмме она обозначена желтым прямоугольником 1) имеет одну сторону (Ns = 1). Это следует из того, что непрерывная черта, проведенная по ней (голубой прямоугольник 2), проходит через все четыре поверхности базовой ленты Х. То есть из любой точки поверхности исходной фигуры Х-270 мы можем попасть в любую другую ее точку. Следовательно, исходная фигура Х-270 имеет только одну сторону.

 

При разрезании фигуры Х-270 по линии ω---ω она превращается в одно двустороннее кольцо с длиной окружности в 4 раза больше, чем у исходной фигуры (голубой прямоугольник 3). Последующие разрезания вдоль кольца Х-270-2 (голубой прямоугольник 4) не меняют его показателей.

 

При разрезании исходной фигуры Х-270 по линиям τ---τ или σ---σ (зеленый прямоугольник 6) она разделяется на два продетых друг в друга кольца. Одно из этих колец идентично исходной фигуре (желтый прямоугольник 9), а другое имеет две стороны и длину окружности в 4 раза больше, чем у исходной фигуры (зеленый прямоугольник 7).

 

Аналогичное исследование проведено для исходной фигуры G-120 (рис. 11), полученной из базовой ленты G, при закручивании её на 120°. Установлено, что по поверхности этой фигуры можно провести две непрерывные, не пересекающиеся между собой черты. Каждая их этих черт проходит через три из шести поверхностей базовой ленты G (голубой прямоугольник 2). Следовательно, исходная фигура G-120 имеет 2 стороны (желтый прямоугольник 1).

 

При разрезании фигуры G-120 по линии ω---ω, она распадается на два продетых друг в друга плоских перекрученных кольца, каждое из которых имеет длину окружности в три раза больше, чем окружность исходной фигуры G-120 (голубой прямоугольник 3).

 

При разрезании исходной фигуры G-120 по линиям τ---τ или σ---σ (зеленый прямоугольник 6) она распадается на три продетых друг в друга кольца, одно из которых идентично исходной фигуре (желтый прямоугольник 9), а два других имеют по две стороны и длины окружностей в 3 раза больше, чем у исходной фигуры (зеленый прямоугольник 7).

 

На рис. 10 и 11 приведены диаграммы результатов изучения показателей только двух исходных фигур и колец из них. Это сделано в качестве примера первичной обработки результатов исследований. На самом деле при выполнении работы было изготовлено и изучено более 90 исходных фигур, указанных в табл. 2, а также все кольца, полученные при их разрезании. 

таблица, показатели, фигура Y
три поверхности, кольца, разрезание фигур
эксперимент, таблица, показатели фигур

Для уменьшения объема описания экспериментальной части работы остальные диаграммы в ней не приведены, а сразу приведены таблицы и графики, сделанные по результатам обработки диаграмм.

таблица, восемь поверхностей, фигура Okt

Две из этих таблиц, для исходных фигур серий Y и Okt , приведены в качестве примеров (табл. 3 и 4). Таблицы для остальных изученных серий исходных фигур и колец из них выполнены по такому же принципу.

 

На основе таблиц построены графики, приведенные на рис. 12–15. На этих графиках сведены вместе основные показатели исходных фигур всех изученных серий. Параметры исходных фигур на этих графиках приведены в виде их зависимостей от величины углов закручивания базовых лент. А поскольку ось абсцисс на всех графиках проградуирована в одинаковых единицах, это позволяет удобно сравнивать полученные результаты между собой.

 

Однако фактически параметры материальных исходных фигур зависят не от абсолютной величины углов закручивания их базовых лент, а от количества Δ переходов, на которое концы лент повернуты относительно друг друга перед их склеиванием. Но, с другой стороны, выяснилось, что если ось абсцисс на рисунках размечать только в Δ переходах, то сравнивать на графиках и обсуждать результаты экспериментов, проведенных с исходными фигурами разных серий, становится неудобно. Это обусловлено тем, что при одинаковых углах закручивания базовых лент с разным числом поверхностей количество Δ переходов может отличаться в разы. Поэтому сравниваемые графики придется рисовать в разных масштабах, а это ставит под сомнение саму правомерность их сравнения. Это хорошо видно, например, на рис. 15.

 

Чтобы устранить данное противоречие, на некоторых графиках (там, где это было необходимо) градуировка оси абсцисс наряду с углами закручивания ленты продублирована еще и количеством Δ переходов. Это позволяет сравнивать и обсуждать результаты экспериментов более корректно и углубленно, чем если бы была использована ось абсцисс, размеченная только в градусах. Использование «двойной» разметке оси абсцисс дает возможность использовать при обсуждении две точки отсчета, что позволяет лучше понять сущность полученных результатов. В последующем полученные в результате экспериментов данные были использованы для разработки алгоритмов, позволяющих «предсказать» показатели исходных фигур и колец, образующихся при их разрезании, не изготавливая их материальных моделей. 

 

Целесообразность рассмотрения полученных в работе результатов с двух точек зрения хорошо видна в табл. 4 для исходных фигур серии Okt. В столбце 4 этой таблицы показан порядок перехода непрерывной черты, проведенной по линии ω---ω, с одной поверхности на другую в зависимости от количества Δ переходов, на которые были повернуты концы базовой ленты при ее закручивании спиралью (столбец 5).

 

В столбце 4 табл. 4 видно, что эта черта проходит по поверхностям в определенном порядке. Осью симметрии является отметка 180° (Δ = 4). По равноудаленным от нее исходным фигурам (в таблице их параметры окрашены в одинаковые цвета) непрерывная черта по серединной линии ω---ω переходит с одной поверхности исходной фигуры на другую поверхность в той же последовательности, что и по симметрично им расположенным исходным фигурам, находящимся по другую сторону отметки 180° (Δ = 4). Термин «равноудаленным» означает в данном случае то, что исходные фигуры удалены от отметки 180° на одинаковое количество Δ переходов. В серии Okt равноудаленными являются исходные фигуры с Δ = 3 и Δ = 5, с Δ = 2 и Δ = 6, с Δ = 1 и Δ = 7, с Δ = 0 и Δ = 8.

 

Аналогичные эксперименты были проделаны и с другими изученными сериями исходных фигур. Во всех случаях симметричность (относительно отметки 180°) порядка прохождения непрерывной черты по линии ω----ω исходных фигур подтвердилась.

график зависимости, колличество сторон, углы закручивания
Рис.12. Зависимость количества сторон у исходных фигур серий M, Y, X, P и G от углов закручивания их базовых лент

На рис. 12 приведены графики зависимости количества сторон у исходных фигур, изготовленных из базовых лент, имеющих от двух до шести поверхностей, от углов закручивания лент. Кривая Y на нем соответствует данным табл. 3.

 

На рис. 12 видно, что в пределах одного оборота базовой ленты вокруг оси ω---ω от 0° до 360° исходные фигуры имеют следующие показатели:

  • из базовой ленты «М» (лента Мебиуса), имеющей две поверхности, односторонняя исходная фигура получается при закручивании ленты на половину оборота, т. е. на 180° (на один Δ переход);
  • из базовой ленты «Y», имеющей три поверхности, односторонние исходные фигуры получаются при ее закручивании на 120° (на один Δ переход) и на 240° (на два Δ перехода);
  • из базовой ленты «Х», имеющей четыре поверхности, односторонние исходные фигуры получаются при ее закручивании на 90° (один Δ переход) и на 270° (три Δ перехода). При угле закручивания 180° (два Δ перехода) получается двусторонняя исходная фигура;
  • из базовой ленты «Р», имеющей пять поверхностей, односторонние исходные фигуры получаются при ее закручивании на 72°, 144°, 216° и 288° (на один, два, три и четыре Δ перехода, соответственно), т. е. при всех углах поворотов, кроме 0° и 360°;
  • из базовой ленты «G», имеющей шесть поверхностей, односторонние исходные фигуры получаются при ее закручивании на 60° (один Δ переход) и на 300° (пять Δ переходов). При углах закручивания ленты на 120° (два Δ перехода) и на 240°(четыре Δ перехода) получаются двусторонние исходные фигуры. При угле закручивания ленты на 180° (три Δ перехода) получается трехсторонняя исходная фигура. 

 

На графиках, приведенных на рис. 12, видно, что прямой зависимости между количеством поверхностей у базовых лент и числом сторон у получаемых из них исходных фигур нет.

 

Общим для всех рассмотренных случаев является то, что если склеивать концы базовых лент, не закручивая их предварительно спиралью вокруг оси ω---ω, т. е. при угле закручивания 0°, и после закручивания на полный оборот, т. е. на 360°, всегда получаются исходные фигуры, у которых количество сторон (Ns) равно числу поверхностей (Npb) их базовых лент.

 

На рис. 12 видно также, что при углах закручивания базовых лент, ближайших к 0° и к 360°, из них всегда получаются односторонние исходные фигуры, независимо от того, сколько поверхностей было у их базовых лент.

 

Результаты, приведенные на рис. 12, показывают, что какие-то зависимости в ряду исходных фигур в форме колец с разным количеством поверхностей явно имеются.

 

Продолжение следует. 

 

Напоминаем Вам, что в нашем журнале "Наука и техника" Вы найдете много интересных оригинальных статей о развитии авиации, кораблестроения, бронетехники, средств связи, космонавтики, точных, естественных и социальных наук. На сайте Вы можете приобрести электронную версию журнала за символические 60 р/15 грн.

 

В нашем интернет-магазине Вы найдете также книгипостерымагнитыкалендари с авиацией, кораблями, танками.